Công thức tích phân Cauchy

Phát biểu

Cho $U \subset \mathbb{C}$ là một miền mở, $f : U \to \mathbb{C}$ là hàm chỉnh hình, và $\gamma$ là một đường cong kín đơn định hướng dương trong $U$ có phần trong nằm hoàn toàn trong $U$. Khi đó với mọi điểm $z_0$ nằm bên trong $\gamma$, ta có $f(z_0) = \frac{1}{2\pi i} \oint_{\gamma} \frac{f(z)}{z - z_0}\,dz$, và tổng quát hơn là $f^{(n)}(z_0) = \frac{n!}{2\pi i} \oint_{\gamma} \frac{f(z)}{(z - z_0)^{n+1}}\,dz$ với mọi số nguyên $n \ge 0$.

Vì sao đúng?

Một hàm chỉnh hình cư xử giống như một màng xà phòng căng: các giá trị của nó trên đường biên $\gamma$ khóa chặt hoàn toàn giá trị của nó tại mọi điểm $z_0$ bên trong. Phép chia cho $z - z_0$ tạo ra một cực đơn tại $z_0$ đóng vai trò như một đầu dò phóng đại; khi lấy tích phân quanh $\gamma$, định lý tích phân Cauchy cho phép co vòng lặp xuống thành một đường tròn vô cùng nhỏ quanh $z_0$, nơi $f(z)$ gần như không đổi bằng $f(z_0)$ và sự quay quanh của $1/(z - z_0)$ đóng góp đúng $2\pi i$. Đáng kinh ngạc hơn, việc lấy đạo hàm dưới dấu tích phân cho thấy chỉ cần khả vi phức một lần là tự động buộc $f$ phải khả vi vô hạn lần và giải tích.

Chủ đề chứa định lý này

Định lý liên quan

Chứng minh từng bước

Chưa có chứng minh từng bước cho định lý này.