柯西积分公式

从 $\gamma$ 的内部挖去一个以 $z_0$ 为中心、半径为 $r > 0$ 的小圆盘。由于 $f(z)/(z - z_0)$ 在 $\gamma$ 与圆周 $C_r = \{|z - z_0| = r\}$ 之间的区域上全纯，柯西积分定理给出 $\oint_{\gamma} \frac{f(z)}{z - z_0}\,dz = \oint_{C_r} \frac{f(z)}{z - z_0}\,dz$。将分子拆为 $f(z) = f(z_0) + (f(z) - f(z_0))$，通过参数化 $z = z_0 + re^{i\theta}$，常数部分的积分为 $f(z_0) \oint_{C_r} \frac{dz}{z - z_0} = 2\pi i\,f(z_0)$。由 $f$ 在 $z_0$ 处的连续性，当 $r$ 足够小时在 $C_r$ 上余项满足 $|f(z) - f(z_0)| < \varepsilon$，因此其积分受 $\varepsilon (2\pi r)/r = 2\pi \varepsilon \to 0$（当 $r \to 0$ 时）控制。关于 $f^{(n)}(z_0)$ 的公式可利用差商与紧集上的一致收敛性通过归纳法得出。