三角形中的三角关系

把三角形放入坐标系,让已知角位于原点,未知边就变成一个距离公式,展开这个距离公式会自动多出一个超出勾股和的余弦项。

把顶点 $C$ 放在原点,顶点 $A$ 放在正 $x$ 轴上的 $(b, 0)$(因为 $CA = b$),顶点 $B$ 放在 $(a\cos C, a\sin C)$——这是与 $C$ 距离为 $a$(因为 $CB = a$)且与线段 $CA$ 成角 $C$ 的点。

边 $c = AB$ 是 $A=(b,0)$ 与 $B=(a\cos C, a\sin C)$ 之间的距离,于是 $c^2 = (b - a\cos C)^2 + (a\sin C)^2$。

展开平方:$c^2 = b^2 - 2ab\cos C + a^2\cos^2 C + a^2\sin^2 C$。

由于 $\cos^2 C + \sin^2 C = 1$,最后两项合并为 $a^2$,剩下 $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C$,这正是 $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C$。把原点换成另一个顶点重复同样的论证,可得关于 $a^2$ 与 $b^2$ 的类似公式。

对同一段弧张开的圆周角都相等,因此用巧妙选取的点处相等的角来替换,就能把三角形变成圆内的一个直角三角形,在那里正弦只是弦与直径之比。

设 $O$ 为外心,过 $B$ 作直径,与圆再次相交于点 $B'$。由于 $BB'$ 是直径,圆周角 $\angle BCB'$ 对着半圆,所以 $\angle BCB' = 90°$。

圆周角 $\angle BAC$ 与 $\angle BB'C$ 都对着同一段弧 $BC$(若 $A$ 与 $B'$ 位于相对的弧上则互补,此时由于 $\sin(180°-x)=\sin x$,两角的正弦仍相等),所以 $\angle BB'C = A$ 或其补角,无论哪种情形都有 $\sin(\angle BB'C) = \sin A$。

在直角三角形 $BCB'$(直角在 $C$)中,边 $BC = a$ 是 $\angle BB'C$ 的对边,斜边 $BB' = 2R$ 是直径,所以 $\sin(\angle BB'C) = \dfrac{a}{2R}$。

结合最后两步,$\sin A = \dfrac{a}{2R}$,即 $\dfrac{a}{\sin A} = 2R$。用过 $A$ 或过 $C$ 的直径重复同样的构造,可得 $\dfrac{b}{\sin B} = 2R$ 与 $\dfrac{c}{\sin C} = 2R$,于是三个比值都等于 $2R$,从而证明了 $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$。