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傅里叶级数 几乎任何周期波,无论多么参差不齐,都可以通过叠加频率递增的纯正弦与余弦音调来构造。微妙之处不在于构造本身,而在于理解这个无穷和在何种意义下收敛回原来的波。
直观 用纯音构造一个波 音叉发出的乐音是纯正弦波。同样音高的小提琴音听起来却完全不同——因为它其实是基频加上更弱的谐波 之和,谐波频率是基频的 2 , 3 , 4 , … 2, 3, 4, \dots 2 , 3 , 4 , … 任何 周期信号,包括像方波这样带尖角或跳变的信号,都可以写成频率为某个基频整数倍的正弦与余弦之和。
仅用 3 3 3 大学 傅里叶系数:求出振幅 定义: 傅里叶级数
设 f f f 2 π 2\pi 2 π x x x f ( x + 2 π ) = f ( x ) f(x+2\pi)=f(x) f ( x + 2 π ) = f ( x ) [ − π , π ] [-\pi,\pi] [ − π , π ] 傅里叶级数 是 f ( x ) ∼ a 0 2 + ∑ n = 1 ∞ ( a n cos n x + b n sin n x ) f(x) \sim \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty}\left(a_n\cos nx + b_n\sin nx\right) f ( x ) ∼ 2 a 0 + ∑ n = 1 ∞ ( a n cos n x + b n sin n x ) 部分和 S N f ( x ) = a 0 2 + ∑ n = 1 N ( a n cos n x + b n sin n x ) S_N f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{N}\left(a_n\cos nx + b_n\sin nx\right) S N f ( x ) = 2 a 0 + ∑ n = 1 N ( a n cos n x + b n sin n x ) N N N f f f ∼ \sim ∼ f ( x ) f(x) f ( x )
a n = 1 π ∫ − π π f ( x ) cos n x d x ( n ≥ 0 ) , b n = 1 π ∫ − π π f ( x ) sin n x d x ( n ≥ 1 ) a_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\cos nx\,dx\ (n\ge 0), \qquad b_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\sin nx\,dx\ (n\ge 1) a n = π 1 ∫ − π π f ( x ) cos n x d x ( n ≥ 0 ) , b n = π 1 ∫ − π π f ( x ) sin n x d x ( n ≥ 1 ) 这些公式并非凭空得来。函数 1 , cos x , sin x , cos 2 x , sin 2 x , … 1,\cos x,\sin x,\cos 2x,\sin 2x,\dots 1 , cos x , sin x , cos 2 x , sin 2 x , … [ − π , π ] [-\pi,\pi] [ − π , π ] 正交 的:两个不同函数之积的积分为 0 0 0 n ≥ 1 n\ge1 n ≥ 1 ∫ − π π cos 2 n x d x = ∫ − π π sin 2 n x d x = π \int_{-\pi}^{\pi}\cos^2 nx\,dx = \int_{-\pi}^{\pi}\sin^2 nx\,dx = \pi ∫ − π π cos 2 n x d x = ∫ − π π sin 2 n x d x = π f f f cos m x \cos mx cos m x m m m a m a_m a m
f ( x ) ∼ ∑ n = − ∞ ∞ f ^ ( n ) e i n x , f ^ ( n ) = 1 2 π ∫ − π π f ( x ) e − i n x d x f(x) \sim \sum_{n=-\infty}^{\infty} \hat f(n)\, e^{inx}, \qquad \hat f(n) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\, e^{-inx}\, dx f ( x ) ∼ n = − ∞ ∑ ∞ f ^ ( n ) e in x , f ^ ( n ) = 2 π 1 ∫ − π π f ( x ) e − in x d x 例题: 方波的傅里叶级数
求周期为 2 π 2\pi 2 π f ( x ) = 1 f(x) = 1 f ( x ) = 1 0 < x < π 0 < x < \pi 0 < x < π f ( x ) = − 1 f(x) = -1 f ( x ) = − 1 − π < x < 0 -\pi < x < 0 − π < x < 0
解答 因为 f f f n n n a n = 0 a_n=0 a n = 0 b n b_n b n b n = 1 π ∫ − π π f ( x ) sin n x d x = 2 π ∫ 0 π sin n x d x = 2 n π ( 1 − cos n π ) b_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\sin nx\,dx = \frac{2}{\pi}\int_0^\pi \sin nx\,dx = \frac{2}{n\pi}\left(1-\cos n\pi\right) b n = π 1 ∫ − π π f ( x ) sin n x d x = π 2 ∫ 0 π sin n x d x = nπ 2 ( 1 − cos nπ ) n n n 0 0 0 n n n 4 n π \frac{4}{n\pi} nπ 4 f ( x ) ∼ 4 π ∑ k = 0 ∞ sin ( ( 2 k + 1 ) x ) 2 k + 1 = 4 π ( sin x + sin 3 x 3 + sin 5 x 5 + ⋯ ) f(x) \sim \frac{4}{\pi}\sum_{k=0}^{\infty} \frac{\sin\left((2k+1)x\right)}{2k+1} = \frac{4}{\pi}\left(\sin x + \frac{\sin 3x}{3} + \frac{\sin 5x}{5} + \cdots\right) f ( x ) ∼ π 4 ∑ k = 0 ∞ 2 k + 1 s i n ( ( 2 k + 1 ) x ) = π 4 ( sin x + 3 s i n 3 x + 5 s i n 5 x + ⋯ )
同一个方波用 25 25 25 9 % 9\% 9% 吉布斯现象 。 大学 帕塞瓦尔恒等式:能量守恒 若 f f f a n , b n a_n, b_n a n , b n 1 π ∫ − π π ∣ f ( x ) ∣ 2 d x = a 0 2 2 + ∑ n = 1 ∞ ( a n 2 + b n 2 ) \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} |f(x)|^2\,dx = \frac{a_0^2}{2} + \sum_{n=1}^{\infty}\left(a_n^2 + b_n^2\right) π 1 ∫ − π π ∣ f ( x ) ∣ 2 d x = 2 a 0 2 + ∑ n = 1 ∞ ( a n 2 + b n 2 )
为什么成立? 这恰恰是周期函数无穷维空间中的勾股定理:由于 1 , cos n x , sin n x 1,\cos nx,\sin nx 1 , cos n x , sin n x f f f ∫ ∣ f ∣ 2 \int |f|^2 ∫ ∣ f ∣ 2
证明 用 f f f ∣ f ( x ) ∣ 2 |f(x)|^2 ∣ f ( x ) ∣ 2 [ − π , π ] [-\pi,\pi] [ − π , π ] n ≠ m n\ne m n = m ∫ cos n x cos m x = ∫ sin n x sin m x = 0 \int \cos nx\cos mx = \int \sin nx\sin mx = 0 ∫ cos n x cos m x = ∫ sin n x sin m x = 0 ∫ cos n x sin m x = 0 \int \cos nx\sin mx = 0 ∫ cos n x sin m x = 0 a n 2 ∫ cos 2 n x = a n 2 π a_n^2\int\cos^2 nx = a_n^2\pi a n 2 ∫ cos 2 n x = a n 2 π b n 2 ∫ sin 2 n x = b n 2 π b_n^2\int\sin^2 nx = b_n^2\pi b n 2 ∫ sin 2 n x = b n 2 π ( a 0 / 2 ) 2 ∫ 1 = a 0 2 π / 2 (a_0/2)^2\int 1 = a_0^2\pi/2 ( a 0 /2 ) 2 ∫ 1 = a 0 2 π /2 π \pi π
例题: 由帕塞瓦尔恒等式导出巴塞尔问题
把帕塞瓦尔恒等式应用于 ( − π , π ] (-\pi, \pi] ( − π , π ] f ( x ) = x f(x) = x f ( x ) = x ∑ n = 1 ∞ 1 n 2 \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} ∑ n = 1 ∞ n 2 1
解答 因为 f f f a n = 0 a_n=0 a n = 0 b n = 2 π ∫ 0 π x sin n x d x = 2 ( − 1 ) n + 1 n b_n = \frac{2}{\pi}\int_0^\pi x\sin nx\,dx = \frac{2(-1)^{n+1}}{n} b n = π 2 ∫ 0 π x sin n x d x = n 2 ( − 1 ) n + 1 1 π ∫ − π π x 2 d x = ∑ n = 1 ∞ b n 2 \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} x^2\,dx = \sum_{n=1}^{\infty} b_n^2 π 1 ∫ − π π x 2 d x = ∑ n = 1 ∞ b n 2 1 π ⋅ 2 π 3 3 = 2 π 2 3 \frac{1}{\pi}\cdot\frac{2\pi^3}{3} = \frac{2\pi^2}{3} π 1 ⋅ 3 2 π 3 = 3 2 π 2 ∑ n = 1 ∞ 4 n 2 = 4 ∑ n = 1 ∞ 1 n 2 \sum_{n=1}^{\infty} \frac{4}{n^2} = 4\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2} ∑ n = 1 ∞ n 2 4 = 4 ∑ n = 1 ∞ n 2 1 ∑ n = 1 ∞ 1 n 2 = π 2 6 \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6} ∑ n = 1 ∞ n 2 1 = 6 π 2 sin x \sin x sin x
进阶 这个级数真的收敛回 f f f 在帕塞瓦尔恒等式的意义下——即按均方误差收敛,称为 L 2 L^2 L 2 ∫ ∣ f ∣ 2 < ∞ \int |f|^2 < \infty ∫ ∣ f ∣ 2 < ∞ f f f x x x f f f S N f ( x ) → f ( x ) S_N f(x) \to f(x) S N f ( x ) → f ( x ) 处处 发散的可积函数。
若 f ∈ L 2 ( − π , π ) f \in L^2(-\pi,\pi) f ∈ L 2 ( − π , π ) x x x S N f ( x ) → f ( x ) S_N f(x) \to f(x) S N f ( x ) → f ( x ) p > 1 p > 1 p > 1 f ∈ L p f \in L^p f ∈ L p
为什么成立? 柯尔莫哥洛夫的反例存在于 L 1 L^1 L 1 f f f L 2 L^2 L 2 最大部分和 sup N ∣ S N f ( x ) ∣ \sup_N |S_N f(x)| sup N ∣ S N f ( x ) ∣
证明 完整的论证被认为是二十世纪分析学中最难的证明之一,远超本页范围;查尔斯·费弗曼在1973年给出了一个更清晰(但仍然技术性很强)的版本,利用了关于时间-频率"瓦片"的组合论证。主题[调和分析](/giai-tich-dieu-hoa)勾勒了其背后的图景。
历史注记
三角级数在傅里叶之前几十年就已出现,源于18世纪关于振动弦的一场争论。莱昂哈德·欧拉与让·勒朗·达朗贝尔找到了弦方程的行波解,但与丹尼尔·伯努利意见不合——伯努利在1753年断言,被拨动的弦任何 可能的形状都可以写成正弦模态 sin ( n x ) \sin(nx) sin ( n x )
莱昂哈德·欧拉 约瑟夫·傅里叶
常见错误. f f f 不足以 保证 S N f ( x ) → f ( x ) S_N f(x) \to f(x) S N f ( x ) → f ( x ) 平均值 f ( x − ) + f ( x + ) 2 \frac{f(x^-)+f(x^+)}{2} 2 f ( x − ) + f ( x + ) x = 0 x=0 x = 0 0 0 0 ± 1 \pm1 ± 1 对于周期为 2 π 2\pi 2 π a 0 a_0 a 0
1 π ∫ − π π f ( x ) d x \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\,dx π 1 ∫ − π π f ( x ) d x 1 2 π ∫ − π π f ( x ) d x \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\,dx 2 π 1 ∫ − π π f ( x ) d x 1 π ∫ − π π f ( x ) cos x d x \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\cos x\,dx π 1 ∫ − π π f ( x ) cos x d x 2 ∫ − π π f ( x ) d x 2\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\,dx 2 ∫ − π π f ( x ) d x 若 f f f f ( − x ) = − f ( x ) f(-x)=-f(x) f ( − x ) = − f ( x )
余弦系数 a n a_n a n 正弦系数 b n b_n b n a n a_n a n b n b_n b n 两者都不为零 吉布斯现象是指,在跳跃间断点附近,部分和 S N f S_N f S N f
当 N N N f f f 无论 N N N 9 % 9\% 9% 在所有点都总是收敛到左右极限的平均值 对任意 N N N 对 ( − π , π ] (-\pi,\pi] ( − π , π ] f ( x ) = x f(x)=x f ( x ) = x ∑ n = 1 ∞ 1 n 2 \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} ∑ n = 1 ∞ n 2 1
π 2 6 \frac{\pi^2}{6} 6 π 2 π 2 8 \frac{\pi^2}{8} 8 π 2 π 2 \frac{\pi}{2} 2 π π 2 4 \frac{\pi^2}{4} 4 π 2