解法：卡恩与卡莱利用弗兰克尔–威尔逊定理反驳博苏克猜想

1933年,博苏克猜想:任意有界集合 $S \subset \mathbb{R}^n$ 都可以划分为 $n+1$ 块,每块的直径严格小于 $d(S) = \max_{x,y \in S} \|x-y\|_2$。下界 $f(n) \ge n+1$ 容易得到(正单形的顶点,或者通过博苏克–乌拉姆定理得到的球,都需要这么多块);该猜想在 $n=2$ 与 $n=3$ 维已被证明成立,且对任意维数中所有关于中心对称或光滑的凸体都成立,这正是它被广泛相信的原因。

在卡恩与卡莱之前,已有几位学者提出:如果反例存在,它很可能来自组合数学而非光滑几何。1965年,路德维希·丹泽尔证明,一个具有固定权重的有限 $\{0,1\}$ 向量集合不能被 $(1.003)^d$ 个直径更小的球覆盖,这是高维组合构型抵抗小规模划分的第一个迹象;保罗·埃尔德什与戴维·拉尔曼各自独立地提出了沿此方向存在真正反例的可能性。