解法：旺泽尔给出的倍立方问题代数不可能性证明(1837年)

艾森斯坦判别法指出:对整系数多项式 $a_nx^n+\cdots+a_1x+a_0$,若存在某个素数 $p$ 整除每个系数 $a_0,\ldots,a_{n-1}$ 但不整除首项系数 $a_n$,且 $p^2$ 不整除 $a_0$,则该多项式在 $\mathbb{Q}$ 上不可约。

把它用于 $P(x)=x^3-2$,其系数为 $a_3=1,\ a_2=0,\ a_1=0,\ a_0=-2$。取 $p=2$:它整除 $a_2=0$、$a_1=0$ 与 $a_0=-2$,但不整除首项系数 $a_3=1$;且 $p^2=4$ 不整除 $a_0=-2$。所有条件都满足,故 $P(x)=x^3-2$ 在 $\mathbb{Q}$ 上不可约(这一论证已以等价形式出现在旺泽尔1837年的论文中,§III,早于艾森斯坦1850年后来对该判别法的一般表述)。

由于 $P$ 是 $\sqrt[3]{2}$ 的极小多项式且次数为 $3$,故 $[\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2}):\mathbb{Q}] = 3$。这正是最后一步所需要的数字:现在需要把它与第2步给出的允许次数清单 $1,2,4,8,\ldots$ 作比较。