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解法：旺泽尔给出的倍立方问题代数不可能性证明(1837年)

第 2/5 步：旺泽尔判据:可作图数的次数为 2m2^m
上一步下一步
通俗地说

尺规能给图形添加的每个点,都来自直线与圆的交点,用坐标写出来就总是意味着求解一个至多 22 次的方程。所以逐步作图就像一场游戏,每一步要么保持已有的数不变,要么恰好添上一个新的平方根。

由于'翻倍'的动作是按乘法链接起来的,无论进行了多少步,所涉及数的总复杂度永远是 22 的幂——绝不会是 33、55 或其他任何素数。

Q=F0⊂F1⊂⋯⊂Fk, [Fi:Fi−1]∈{1,2}  ⟹  [Q(α):Q]=2m\mathbb{Q} = F_0 \subset F_1 \subset \cdots \subset F_k,\ [F_i{:}F_{i-1}]\in\{1,2\} \implies [\mathbb{Q}(\alpha){:}\mathbb{Q}] = 2^m
详细分析

以 F0=QF_0=\mathbb{Q} 固定坐标。如同尺规作图的一般理论,每个新的可作图点都是两条直线、一条直线与一个圆,或两个圆的交点,它们的系数都在当前域 Fi−1F_{i-1} 中;求解相应方程组得到的坐标要么本身就在 Fi−1F_{i-1} 中,要么在某个二次扩张 Fi=Fi−1(di)F_i=F_{i-1}(\sqrt{d_i}) 中(其中 di∈Fi−1d_i\in F_{i-1})。于是有限步作图产生一个塔 Q=F0⊂F1⊂⋯⊂Fk\mathbb{Q} = F_0 \subset F_1 \subset \cdots \subset F_k,满足 [Fi:Fi−1]∈{1,2}[F_i:F_{i-1}]\in\{1,2\}(Wantzel 1837, §I)。

由塔定律,次数沿链相乘:[Fk:Q]=∏i=1k[Fi:Fi−1]=2k[F_k:\mathbb{Q}] = \prod_{i=1}^k [F_i:F_{i-1}] = 2^k。若实数 α\alpha 可作图,则对某个这样的塔有 α∈Fk\alpha\in F_k,故 Q(α)⊆Fk\mathbb{Q}(\alpha)\subseteq F_k,再次应用塔定律可知 [Q(α):Q][\mathbb{Q}(\alpha):\mathbb{Q}] 整除 2k2^k。22 的幂的因数本身也是 22 的幂,所以对某个整数 m≥0m\ge 0 有 [Q(α):Q]=2m[\mathbb{Q}(\alpha):\mathbb{Q}] = 2^m。

这一必要条件正是证明其余部分所需的唯一工具:要证明 23\sqrt[3]{2} 不可作图,现在只需计算 [Q(23):Q][\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2}):\mathbb{Q}] 并检验它不是 22 的幂即可。

本步骤中的术语
塔定律(次数的可乘性)
对于域的链 F0⊂F1⊂F2F_0\subset F_1\subset F_2,次数相乘:[F2:F0]=[F2:F1]⋅[F1:F0][F_2:F_0]=[F_2:F_1]\cdot[F_1:F_0],因此一长串小扩张可以一次性度量。
本步骤用到的知识
伽罗瓦理论
常见错误. 在 Q\mathbb{Q} 上次数为 2m2^m 是可作图的必要条件而非充分条件;这里之所以够用,只是因为 33 根本不是 22 的幂。