解法：旺泽尔给出的倍立方问题代数不可能性证明(1837年)

梅奈赫莫斯(约公元前350年)被认为给出了倍立方问题最早的已知解法,使用了圆锥曲线。取两条抛物线 $x^2=y$ 与 $y^2=2x$;把第一式中的 $y=x^2$ 代入第二式,得 $x^4=2x$,即当 $x\neq0$ 时 $x^3=2$。于是它们交点的 $x$ 坐标恰好等于 $\sqrt[3]{2}$——但抛物线无法用无刻度尺规画出,所以这并不与旺泽尔后来的证明相矛盾;它回答的是一个不同的问题,一个允许使用更多曲线作为工具的问题。

其他古代解法还包括阿契塔令人惊叹的三维曲线解法(一个圆柱、一个圆锥与一个环面的交线,在关于他工作的现代重构中被还原出来),以及和三等分角问题一样、用内插法(有刻度直尺)给出的解法,这些都不在旺泽尔的论文讨论范围内。所有这些解法都比旺泽尔早了两千年;1837年真正改变的不是找到了新的作图方法,而是第一次证明了仅用尺规的作图法根本不可能存在。

旺泽尔在同一篇1837年的论文中,用同一个核心思想——域扩张的次数必须是 $2$ 的幂——同时处理了倍立方与三等分角问题,这连同他补全的高斯多边形定理一起,成为利用域论推理解决纯几何问题的最早应用之一,发生在伽罗瓦关于域扩张与根式可解性的思想广为人知的几年之前。