解法：旺泽尔给出的倍立方问题代数不可能性证明(1837年)

经典的"倍立方"(或提洛)问题要求从一条单位线段出发,用尺规作出一个立方体的棱 $x$,使其体积是单位立方体体积的两倍:$x^3 = 2$,即 $x=\sqrt[3]{2}$,是 $P(x) = x^3 - 2$ 的根。早在希俄斯的希波克拉底(公元前5世纪)时代,这个问题就已经很古老了,他把它归结为求 $1$ 与 $2$ 之间的两个比例中项,这个问题让尺规作图法束手无策超过两千年。

旺泽尔1837年的论文用与三等分角相同的方法解决了它:把可作图性翻译成一个代数次数条件,然后检验 $x=\sqrt[3]{2}$ 是否满足该条件。接下来的步骤将执行这一过程:首先是可作图数在 $\mathbb{Q}$ 上的次数必为 $2$ 的幂这一一般判据,然后是 $P(x)=x^3-2$ 在 $\mathbb{Q}$ 上不可约这一事实,由此得到 $[\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2}):\mathbb{Q}]=3$——不是 $2$ 的幂。

与三等分角问题不同,这里只有一个需要检验的相关数,即 $\sqrt[3]{2}$ 本身,这使得它成为旺泽尔两个经典不可能性证明中更简洁的一个。