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解法：旺泽尔给出的倍立方问题代数不可能性证明(1837年)

第 4/5 步：结论:33 不是 22 的幂,故立方体不能被加倍
上一步下一步
通俗地说

现在两个事实碰撞在一起。第2步说,任何可作图数的次数都必须是 1,2,4,8,16,…1, 2, 4, 8, 16,\ldots——永远是2的幂。第3步算出 23\sqrt[3]{2} 的次数恰好是 33,而 33 永远不会出现在那份清单上。

所以 23\sqrt[3]{2} 根本超出了尺规的能力范围。无论怎样巧妙尝试——没有任何一串尺规操作能恰好到达这个长度,因为它的代数'签名'从一开始形状就不对。

[Q(23):Q]=3≠2m  ⟹  23 is not constructible[\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2}):\mathbb{Q}]=3 \ne 2^m \implies \sqrt[3]{2} \text{ is not constructible}
详细分析

第2步证明了每个可作图实数在 Q\mathbb{Q} 上的次数都是 2m2^m(对某个整数 m≥0m\ge0),第3步算出 [Q(23):Q]=3[\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2}):\mathbb{Q}] = 3。由于 33 是大于 11 的奇数,对任何 mm 都不可能等于 2m2^m。因此 23\sqrt[3]{2} 不可用尺规作图,又因为体积为单位立方体两倍的立方体的棱必须等于 23\sqrt[3]{2},所以仅用尺规不可能实现倍立方(Wantzel 1837, §III)。

这就终结了一个至少从公元前5世纪起就一直抵抗作图尝试的问题。它也展示了旺泽尔方法的力量:证明并没有穷举(无穷多种)可能的作图方式,而是指出了一个单一的代数障碍,一举排除了所有这些方式。

和三等分角问题一样,这个不可能性是针对经典的无刻度尺规而言的;更强大的工具可以直接解决这个问题,这一点将在结尾的一步中提及。