费马大定理

已解决，1994年算术与数论

问题陈述

对任意整数 $n > 2$ ，丢番图方程 $x^n + y^n = z^n$ 没有正整数解 $x, y, z$ 。

安德鲁·怀尔斯于1993年6月在剑桥牛顿研究所宣布了半稳定椭圆曲线的谷山-志村-韦伊模性猜想的证明——根据肯·里贝特1986年关于格哈德·弗雷曲线的定理，这直接推出费马大定理。在同行评审期间，尼克·卡茨发现用于控制塞尔默群的欧拉系界存在一处微妙漏洞。怀尔斯与他的前学生理查德·泰勒合作，通过发展针对赫克代数与伽罗瓦形变环的泰勒-怀尔斯方法绕过了这一障碍，于1994年9月完成了修正后的证明。该成果于1995年5月以两篇姊妹论文的形式发表在《数学年刊》上（一篇由怀尔斯独著，另一篇由泰勒与怀尔斯合著）。

提出者, 1637皮埃尔·德·费马解决者, 1994安德鲁·怀尔斯

泰勒-怀尔斯的模性提升工具彻底改变了代数数论。2001年，克里斯托夫·布勒伊、布赖恩·康拉德、弗雷德·戴蒙德与理查德·泰勒推广了怀尔斯的工作，对 $\mathbb{Q}$ 上所有椭圆曲线完整证明了谷山-志村-韦伊模性定理；钱德拉谢卡尔·卡雷与让-皮埃尔·温滕贝格（2009年）证明了塞尔模性猜想，后者同样直接蕴含费马大定理。广义费马方程 $Ax^p + By^q = Cz^r$ 在双曲情形 $1/p + 1/q + 1/r < 1$ 下受达蒙-格兰维尔定理支配，而比尔猜想与 $abc$ 猜想则提出了更为深远的丢番图推广。

参考文献

Andrew Wiles (1995). Modular elliptic curves and Fermat's Last Theorem · DOI:10.2307/2118559
Richard Taylor, Andrew Wiles (1995). Ring-theoretic properties of certain Hecke algebras · DOI:10.2307/2118560
Kenneth A. Ribet (1990). On modular representations of Gal(\bar{Q}/Q) arising from modular forms · DOI:10.1007/BF01231195

问题历史

1637皮埃尔·德·费马在巴谢翻译的丢番图《算术》拉丁文版页边写下批注：一个立方数不能分解为两个立方数之和，任何高于二次的幂 $n > 2$ 也不能分解为两个同次幂之和，并声称自己发现了一个“真正美妙的证明”，只是页边太窄写不下；但他流传下来的只有用无穷递降法给出的 $n = 4$ 情形的证明。皮埃尔·德·费马
1770莱昂哈德·欧拉针对指数 $n = 3$ 的情形利用 $\mathbb{Z}[\sqrt{-3}]$ 中的算术发表了证明；他对唯一分解性的隐含假定中的漏洞后来借助高斯整数与艾森斯坦整数得以补全。莱昂哈德·欧拉
1823索菲·热尔曼证明了首个适用于一整类素数指数的一般判别准则：若 $p$ 与 $2p + 1$ 均为素数，则 $x^p + y^p = z^p$ 不存在满足 $p \nmid xyz$ 的整数解（费马大定理的第一情形）。索菲·热尔曼
1847恩斯特·库默尔引入理想数以恢复分圆域 $\mathbb{Q}(\zeta_p)$ 中理想的唯一分解性质，并对所有正则素数 $p$ （即不整除 $\mathbb{Q}(\zeta_p)$ 类数的素数）证明了费马大定理。
1984格哈德·弗雷在奥伯沃尔法赫会议上提出，假若存在反例 $a^p + b^p = c^p$ ，便可构造出一条半稳定椭圆曲线 $y^2 = x(x - a^p)(x + b^p)$ ，其判别式性质异常极端，因而不可能具有模性；让-皮埃尔·塞尔随后精确表述了完成这一关联所需的 $\varepsilon$ 猜想。
1986肯·里贝特证明了塞尔关于降水平的 $\varepsilon$ 猜想（1990年发表），从而确立了费马大定理可直接由半稳定椭圆曲线的谷山-志村-韦伊模性猜想推出。
1993经过七年独自秘密研究，安德鲁·怀尔斯于6月在剑桥的三场系列演讲中宣布了半稳定椭圆曲线模性猜想的证明；但在审稿过程中，人们在欧拉系的计算中发现了一处漏洞。安德鲁·怀尔斯
1994安德鲁·怀尔斯与理查德·泰勒于9月利用赫克代数的泰勒-怀尔斯修补法补上了漏洞并公布定稿，论文于1995年5月发表在《数学年刊》上。安德鲁·怀尔斯

奖金

沃尔夫斯凯尔奖, 100,000 Goldmark (DM 75,000 in 1997) — 已颁发