解法：平面情形:$\mathbb{R}^2$ 中每个挂谷集的维数均为2(戴维斯,1971年)

第 1/4 步：贝西科维奇悖论与戴维斯的解决

通俗地说

1919年,贝西科维奇证明一根长度为1的针可以连续转过每一个方向,同时扫过的区域面积可以任意小——针的路径碎片可以像手风琴一样压紧,使其几乎完全重叠。这令人震惊:一个在无穷多个方向上都包含完整单位线段的集合,按面积衡量却可以是“薄”的。戴维斯提出了一个更尖锐的问题:无论面积多小,这样的集合是否在更精细的意义——豪斯多夫维数——上仍必须是“厚”的?他对平面给出了肯定答案,证明 $\mathbb{R}^2$ 中任何挂谷集的维数都不小于2——解决了如今称为挂谷猜想的 $n=2$ 情形,并推动了该猜想在任意维数下的表述。

\dim_H(K) = \dim_M(K) = 2 \quad \text{for every Kakeya set } K \subset \mathbb{R}^2

详细分析

形式上,有界集合 $E$ 的(下)闵可夫斯基维数为 $\dim_M(E) = 2 - \lim_{\delta\to 0}\frac{\log|E_\delta|}{\log(1/\delta)}$ ,其中 $E_\delta$ 是其 $\delta$ -邻域;豪斯多夫维数通过任意(而非仅同一尺度的)覆盖定义,且总满足 $\dim_H(E)\le \dim_M(E)$ 。单独一条线段已平凡地给出 $\dim_H(K)\ge 1$ 。戴维斯定理是非平凡的反向陈述 $\dim_H(K)\ge 2$ (结合 $K\subset\mathbb{R}^2$ 给出的平凡上界,即得 $=2$ ),其证明是一个纯测度论论证,结合点与直线之间的射影对偶,以及马斯特兰德型定理——后者估计集合的豪斯多夫维数在几乎每个方向的正交投影下能下降多少。

本步骤中的术语

挂谷(贝西科维奇)集: 包含指向每个方向 $e \in S^{n-1}$ 的单位线段的集合 $K \subset \mathbb{R}^n$ 。