解法：平面情形:$\mathbb{R}^2$ 中每个挂谷集的维数均为2(戴维斯,1971年)

具体而言,所用的等价关系是:$\dim_M(K) = 2 \iff$ 对任意 $\varepsilon>0$,存在 $\delta_0$,使得对所有 $\delta<\delta_0$,$K$ 的 $\delta$-邻域面积 $\ge \delta^{\varepsilon}$;由于 $K$ 在 $N\sim\delta^{-1}$ 个方向中的每一个都含有一条单位线段,其 $\delta$-邻域包含相应的 $N$ 根管 $T_1,\dots,T_N$ 的并集(这正是猜想的线段版本蕴含管版本之处)。因此只需将 $|\bigcup_i T_i|$ 从下方用某个幂 $\delta^{o(1)}$ 控制住即可,而接下来两步恰好给出 $\delta^{-2}/\log(1/\delta) \cdot \delta^2 = 1/\log(1/\delta)$,该量确实比 $\delta$ 的任何正幂都更慢地趋于 $0$。