解法：平面情形:$\mathbb{R}^2$ 中每个挂谷集的维数均为2(戴维斯,1971年)

第 3/4 步：科尔多瓦的

L^2

技巧:计算管族的重叠

上一步下一步

通俗地说

两根以小夹角 $\theta$ 相交的 $\delta\times 1$ 管,其重叠区域是面积约为 $\delta^2/\theta$ 的细长平行四边形——越接近平行,并行的长度就越长。把全部 $N$ 根管的示性函数相加成一个“重数函数” $f$ ,积分 $\int f^2$ 恰好带重数地统计了所有两两重叠 $|T_i\cap T_j|$ 。由于 $N$ 个方向在大小约为 $1$ 的角度范围内以 $\delta$ 间隔均匀分布,对所有配对求和 $\delta^2/|\theta_i-\theta_j|$ 只产生调和级数式的发散——仅一个 $\log N$ 因子——而不会更糟。

|T_i \cap T_j| \lesssim \min\!\Big(\delta,\ \frac{\delta^2}{|\theta_i-\theta_j|}\Big),\qquad f = \sum_{i=1}^N \chi_{T_i}

详细分析

将各管排列使 $\theta_i \approx i\delta$ ( $i=1,\dots,N$ )。固定 $T_i$ :对每个 $k=1,\dots,N$ ,满足 $|\theta_i-\theta_j|\approx k\delta$ 的管 $T_j$ 有 $O(1)$ 根,各自贡献重叠 $\lesssim \delta^2/(k\delta)=\delta/k$ ( $k=0$ 时以 $|T_i\cap T_i|=\delta$ 为上限)。于是 $\sum_j |T_i\cap T_j| \lesssim \delta\sum_{k=1}^{N}\frac{1}{k} \sim \delta\log N$ 。对全部 $N$ 个 $i$ 求和, $\int f^2 = \sum_{i,j}|T_i\cap T_j| \lesssim N\delta\log N \sim \log N$ (用了 $N\delta\sim 1$ )。换回古斯讲义中更常见的长度 $N$ 、半径 $1$ 的管归一化(通过尺度变换等价),便得到常被引用的形式 $\int f^2 \lesssim N^2\log N$ 。