解法：苏斯林假设与ZFC的独立性(延森,索洛维–滕鲍姆,1971年)

第 2/8 步：树把这个问题翻译成纯粹的组合数学

通俗地说

想象一棵家族树:每个人都有一个明确定义的祖先集合,世代数就是高度,一条无限不间断的血脉就是一条分支,而一群互相之间都不是彼此祖先的人就构成一个反链。“ $\omega_1$ -树”会生长 $\aleph_1$ 个不可数的世代。

苏斯林树就是这样一棵高度为此的树,它做到了一件令人惊讶的事:整体上有 $\aleph_1$ 个节点,却既没有不可数长的分支,也没有不可数大的反链——这个奇怪的组合对象,恰好在苏斯林线存在时才存在。

T \text{ tree}, \ \mathrm{ht}(T) = \omega_1, \ \text{no uncountable branch or antichain}

详细分析

树是一个偏序集 $(T, <_T)$ ,其中任意节点的前驱集合都被 $<_T$ 良序化;一个节点的高度是其前驱的序型,而 $T$ 的高度是所有节点高度的上确界。分支是一个极大的线性有序子集(贯穿树的一条“链”),反链则是一组两两不可比的节点。

$\omega_1$ -苏斯林树是高度为 $\omega_1$ 的树,其中每条分支和每个反链都是可数的,但树本身却有 $\aleph_1$ 个节点。一个经典的等价性(归功于库雷帕在这一课题上的早期工作)表明:苏斯林线存在当且仅当某个 $\omega_1$ -苏斯林树存在:给定一条苏斯林线,可以按反向包含构造一棵区间树;给定一棵苏斯林树,可以把它的分支按字典序排列构造出一条线。

正是这一等价性,使集合论学家能够用关于树的纯粹超限递归来攻克苏斯林假设,而不必用关于连续统的精细序论论证——这正是接下来两步所使用的组合工具。

本步骤中的术语

树(序论意义下): 一个偏序集,其中每个元素的前驱都是良序的;高度、分支和反链的定义方式与祖先家族树完全类似。
分支与反链: 分支是贯穿一棵树的极大链(全序子集);反链是一组两两不可比的节点。苏斯林树尽管整体有 $\aleph_1$ 个节点,却使这两类集合都保持可数。