解法：苏斯林假设与ZFC的独立性(延森,索洛维–滕鲍姆,1971年)

延森的构造:假设 $\diamondsuit$,通过超限递归构造一棵高度为 $\omega_1$ 的树 $T$,一次添加一层 $T_\alpha$;每当钻石序列的猜测 $A_\alpha$ 恰好编码了到目前为止所构造的树的一个极大反链时,就把还不属于该反链的每个节点以能击败它(确保它不能保持极大)的方式加以扩展。由于 $\diamondsuit$ 保证这个猜测在一个稳止的阶段集合上是正确的,每一个潜在的极大反链最终都会在某个时刻被捕获并击败,于是所得的树没有不可数的反链(并且用类似的论证也没有不可数的分支):这是一棵真正的 $\omega_1$-苏斯林树。

与此独立,耶赫(1967年)与滕鲍姆(1968年)证明可以通过用树的序关系的有限逼近所构成的偏序集来力迫,从而直接添加一棵苏斯林树,完全不诉诸 $V = L$ 或 $\diamondsuit$;生成性同样保证不可能补全出不可数的分支或反链。两条路径都得到:$\mathrm{Con}(\mathrm{ZFC}) \implies \mathrm{Con}(\mathrm{ZFC} + \neg\mathrm{SH})$。

这解决了苏斯林假设独立性的一半:$\mathrm{SH}$ 永远不可能仅凭 $\mathrm{ZFC}$ 被证明。剩下的步骤将构造相反类型的模型,在其中每一棵可能的苏斯林树都被系统地摧毁。