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解法：阿戈尔用立方复形证明虚哈肯猜想(2012年)

第 3/8 步：Kahn–Markovic:拟富克斯曲面子群无处不在
上一步下一步
通俗地说

设想在一个弯曲的双曲空间中,试图找一张平坦、刚性的圆盘,把它推过整个空间,使它到处都几乎完全平坦,并且闭合成一张曲面而不撕裂。Kahn 与 Markovic(2012年)证明,在任意闭双曲三维流形内部,这样几乎平坦的浸入曲面大量存在,且亏格可以任意大。

每一张这样的曲面都在 π1(M)\pi_1(M) 内部贡献出一份行为良好(“拟凸”)的曲面群副本——这正是下一步将被组装成 Agol 的机制可以作用其上的代数结构的原始几何材料。

arbitrarily large g: π1(Σg)↪π1(M) quasi-convex(Σg immersed, nearly totally geodesic)\text{arbitrarily large }g:\ \pi_1(\Sigma_g) \hookrightarrow \pi_1(M) \text{ quasi-convex} \quad (\Sigma_g \text{ immersed, nearly totally geodesic})
详细分析

Kahn 与 Markovic(2012年)证明了曲面子群猜想:任意闭双曲三维流形 MM,对任意大的亏格 gg,都包含一个几乎完全测地(其第二基本形式一致地小)的浸入曲面 Σg\Sigma_g,给出一个拟凸子群 π1(Σg)↪π1(M)\pi_1(\Sigma_g) \hookrightarrow \pi_1(M)。

他们的证明以概率方法构造这些曲面:粘合大量几乎测地的小“裤子”(三孔球面),使得随着亏格增长,边界曲线以指数级高的概率相互匹配——这是此前三维流形拓扑中没有对应物的技巧。

单单一张曲面所携带的关于 π1(M)\pi_1(M) 的信息很有限;Kahn–Markovic 曲面的丰富性与近乎完全测地的性质,正是下一步 Sageev 的构造用以建立足够丰富的立方复形所需要的原始材料。

本步骤中的术语
拟凸子群
字双曲群的一个子群 H≤GH \le G,使得(在 GG 的凯莱图中)连接 HH 中各点的测地线始终停留在离 HH 有界距离之内;这是一类继承了周围双曲几何大部分性质、行为良好的子群。
本步骤用到的知识
光滑流形