解法：阿戈尔用立方复形证明虚哈肯猜想(2012年)
通俗地说
在所有 CAT(0) 立方复形中,有一些格外行为良好:它们的超平面从不自我相交,也从不在不相交的情况下自我触碰于一点,更不会以不相容的方式两次触碰相邻的超平面。Wise 在 Haglund–Wise(2008年)工作的基础上,把这样的复形称为“特殊的”。
收益是巨大的:特殊复形的基本群能干净地嵌入一个直角阿廷群——一类由图直接构造出的、非常简单且被充分理解的群——这就白白带来了一整套代数工具箱(线性性、可分离性等等)。
详细分析
一个非正曲率(NPC)立方复形 是特殊的(Haglund–Wise 2008年),当且仅当其超平面避开了若干种局部病态:自相交、单侧性、自我接触,以及不同超平面之间的相互接触。
Haglund 与 Wise 证明了 是特殊的,当且仅当存在从 到某个直角阿廷群 的萨尔维蒂复形的组合局部等距映射,它把 实现为 的一个子群(引用为 Agol 2012 的定理2.7,归功于 Wise)。
直角阿廷群是剩余有限且线性的,其拟凸子群都是可分离的,因此任何虚(即在有限指数意义下)为某特殊立方复形基本群的群,都自动继承了所有这些性质——这正是 Agol 的纲领以虚特殊性为目标,而非某种更弱性质的原因。
- 特殊立方复形
- 超平面均为嵌入、双侧且不含自我接触与相互接触病态的 NPC 立方复形;等价地说,即容许嵌入某直角阿廷群萨尔维蒂复形的组合局部等距映射的复形。
- 直角阿廷群
- 由生成元表示的群,每个生成元对应图 的一个顶点,仅施加由边相连的生成元之间的交换关系;是直接由组合数据构造出的最简单、最灵活的一类群。