解法：阿戈尔用立方复形证明虚哈肯猜想(2012年)

Haglund–Wise 把特殊立方复形的群嵌入直角阿廷群 $A(\Gamma)$ 的结果,白白带来了若干结构性质:$A(\Gamma)$ 是线性的(对某个 $n$ 嵌入 $\mathrm{GL}_n(\mathbb{Z})$)且剩余有限,其拟凸子群都是可分离的。这并不等价于整个直角阿廷群是LERF。

由于 $G$ 只是虚地(即在有限指数意义下)成为特殊复形的基本群,这些性质会传递给 $G$ 本身:Agol 的推论1.2得出,一个在 CAT(0) 立方复形上真且余紧作用的非初等字双曲群,是线性的、大的(存在一个满射到非交换自由群的有限指数子群),且其拟凸子群是可分离的。

对于闭双曲三维流形的 $\pi_1(M)$,这尤其给出 $\pi_1(M)$ 是 LERF 的——这正是 Waldhausen 数十年前直接攻克哈肯猜想所需要的性质,而 Agol 后来用它推出所有有限余体积克莱因群都是 LERF 的,解决了 Thurston 提出的一个问题。