解法：阿戈尔用立方复形证明虚哈肯猜想(2012年)

结合归约到双曲三维流形(第2步)、通过 Kahn–Markovic 曲面进行的 Sageev 立方化(第4步),以及 Agol 的立方复形定理(第6步):对每个闭双曲三维流形 $M$,$\pi_1(M)$ 都是虚特殊的;Agol 的三维流形结论(第7步)给出 LERF 与大性,从而 $M$ 有一个含嵌入不可压缩曲面的有限覆叠 $\tilde M$——证明了 Waldhausen 的虚哈肯猜想(Agol 2012, 定理9.1)。

此外,Wise 关于特殊立方复形的专著级工作表明,虚特殊的双曲三维流形群也是虚纤维化的,即 $\tilde M$ 可以被选为纤维化于圆周之上(Wise,引用为 Agol 2012 的定理9.2),解决了 Thurston 的虚纤维化问题;结合第7步,对每个闭双曲三维流形 $M$,$\pi_1(M)$ 还是 LERF 且大的。

由于 Perelman 的几何化已经处理了所有非双曲的闭三维流形(球面型、欧氏型、Seifert 纤维型,或被本质环面分割的类型),虚哈肯定理可扩展到每一个闭的非球面三维流形。虚纤维化定理仍限于双曲情形,解决了 Thurston 在1982年提出的问题。