解法：希尔伯特对华林问题的存在性证明(1909年)

哈代与李特尔伍德的圆法(1920年),建立在哈代与拉马努金1918年关于分拆函数的工作之上,通过生成函数 $F(z)=\sum_{a\ge0}z^{a^k}$($|z|<1$)研究 $r_s(N)$,即用 $a_i\ge0$ 写成 $N=a_1^k+\cdots+a_s^k$ 的方式数:柯西积分公式给出在单位圆盘内某条围道上 $r_s(N)=\frac{1}{2\pi i}\oint F(z)^sz^{-N-1}\,dz$。把圆周分成靠近具有小 $q$ 的有理数 $p/q$ 的“主要弧”(此处被积函数很大,并能被一个显式的“奇异级数” $\mathfrak{S}(N)$ 很好地近似)与“次要弧”(此处相消使贡献变小),哈代与李特尔伍德证明了对相对 $k$ 足够大的 $s$,$r_s(N)\sim C\,\mathfrak{S}(N)N^{s/k-1}$,特别地,只要 $s\ge s_0(k)$(对某个显式的 $s_0(k)$),就有对所有大 $N$ 都 $r_s(N)>0$。

这给出了 $g(k)$ 的一个显式(尽管未必最优)的界,也给出了 $G(k)\le g(k)$(表示所有充分大 $N$ 所需 $k$ 次幂个数,忽略有限多个小的例外)的界——这已经是相对于希尔伯特方法(完全没有产生任何数字)的定性改进。此后的改进(20世纪30年代 I.M. 维诺格拉多夫的均值法,以及2010年代起特雷弗·伍利的高效同余法与解耦方法)大幅收紧了这些界;伍利证明了 $G(k)\le k(\log k+O(\log\log k))$,这对大 $k$ 而言已经很接近真实情况。

对 $g(k)$ 本身,由 J.A. 欧拉(莱昂哈德·欧拉之子)所猜想的公式 $g(k)=2^k+\lfloor(3/2)^k\rfloor-2$,如今已知在直到非常大的、经计算验证的范围内的所有 $k$ 上成立,并且对所有充分大的 $k$ 都已无条件证明(通过 K. 马勒关于 $3/2$ 能被有理数逼近到何种程度的一个判据,结合对剩余有限范围的显式计算)——所以华林1770年最初提出的问题,如今本质上已被完全解决,与希尔伯特1909年纯粹定性的出发点相去甚远。