陈景润的加权筛法与转换原理:每个充分大的偶数都是 $p + P_2$(1966/1973年)

第 2/4 步：遵循Jurkat–Richert的加权线性筛

通俗地说

陈景润没有使用单一的筛和,而是组合了几个:一个主筛和 $S(\mathcal{A},\mathcal{P},z)$ ,统计在 $z\approx N^{1/10}$ 以下没有素因子的平移素数 $N-p$ (即 $q=1$ 或 $q$ 为素数或 $q=P_2$ 的候选),再加上减去 $N-p$ 在截断值以下具有三个或更多素因子这一不需要情形的修正和。Jurkat–Richert定理(1965年)通过求解一个线性微分差分方程组的两个通用函数 $F_1,f_1$ ,为这类筛和给出精确、显式的上下界——这正是使这一组合可证明为正所需要的技术。

S(\mathcal{A},\mathcal{P},z) = \#\{n\in\mathcal{A} : p\mid n \Rightarrow p\ge z\},\qquad \mathcal{A}=\{N-p : p\le N\}

详细分析

具体来说,陈景润研究如下组合: $W(N)=\sum_{\substack{N-p\,\text{squarefree}\\p\le N}} \Big(1-\tfrac12\sum_{\substack{N-p=p_1p_2p_3\\ z\le p_1<p_2<p_3}}1\Big)$ ,使得 $W(N)>0$ 就证实存在素数 $p\le N$ ,使 $N-p$ 在 $z$ 以下没有因子,且不是三个均大于 $z$ 的素数之积——这就迫使 $N-p$ 必为素数或 $P_2$ (在截断值 $z\approx N^{1/10}$ 下,任何 $z$ 以下的剩余素因子只能以使总因子数至多为二的重数出现)。第一个和是标准筛,可由Jurkat–Richert从下方估计;修正和正是需要下一步转换原理的地方。