陈景润的加权筛法与转换原理:每个充分大的偶数都是 $p + P_2$(1966/1973年)

常见问题

为什么这一方法无法从

P_2

进一步压缩到真正的素数,从而证明哥德巴赫猜想本身?

加权筛不等式只能证明某个下界为正;它无法证实幸存下来的 $N-p$ 恰有一个素因子而非恰好两个,因为这正是筛法无法看见的奇偶性区别。要达到真正的素数,需要一种超越筛权重本身、根本不同的工具——目前尚无已知的此类工具。

来源

Chen Jingrun (1966 announcement, 1973 full proof); simplified by P. M. Ross (1975), 1973

On the representation of a larger even integer as the sum of a prime and the product of at most two primes

精简版

第 3/4 步：转换原理:在

p

与

p_1

之间交换角色

上一步下一步

通俗地说

直接对修正和——在所有素数 $p\le N$ 与所有分解 $N-p=p_1p_2p_3$ 上——进行估计,会以普通筛法估计无法高效处理的方式混合两个不同的变量( $p$ 与 $p_1$ )。陈景润的转换原理改变了视角:对某个合适中间范围内固定的素数 $p_1$ ,“ $p_1$ 整除 $N-p$ ”这一条件不过是同余式 $p\equiv N\pmod{p_1}$ 。于是不再对随 $p$ 变化的 $N-p$ 做筛法,而是在模 $p_1$ 的固定剩余类中直接筛选素数 $p$ 本身——把原本困难的“三因子”筛法问题,换成了对 $p_1$ 求和的、关于等差数列中素数分布的更容易的问题。

N-p = p_1p_2p_3 \ (p_1<p_2<p_3) \ \ \xrightarrow{\text{switch}} \ \ p \equiv N \!\!\pmod{p_1}, \quad p_1 \ \text{fixed in a middle range}

详细分析

转换之后,估计修正和归结为一致地(对直到约 $N^{1/3}$ 的所有素数 $p_1$ )估计 $\sum_{p_1} \pi(N; p_1, N)$ ——即剩余类 $N \bmod p_1$ 中素数 $p\le N$ 的个数。这正是博姆别里–维诺格拉多夫定理适用的范围:该定理表明,对模 $q$ 直到 $N^{1/2-\varepsilon}$ 求平均时,任意剩余类 mod $q$ 中的素数个数与素数定理的预期相符,误差足够小(无条件成立,无需尚未证明的广义黎曼猜想),从而可证明修正和小于第2步中的主项。两者结合便给出对所有充分大的偶数 $N$ 均有 $W(N)>0$ 。