通俗地说
去掉一个面,把剩余表面看作拓扑圆盘。可以在保持顶点和边关联关系的同时,把它无交叉地重新画在平面上;这指的是平面嵌入,并不是说每个实体展开图都能无重叠地铺平。
第一步把多面体转化为平面图。由于多面体是凸的,其表面同胚于球面 ;去掉一个面——把它想成“背面”——剩下的曲面在拓扑上是一个圆盘,可以摊平到平面上。具体地,把多面体摆成所选面最接近一个点光源的位置(或从该面内部一点作球极投影):各条棱投影成平面嵌入,其余面都成为有界区域,被去掉的面成为外部的无界区域。
计数是直接的:顶点和棱一一对应地保留,故 、;图形中的有界面共 个,把外面也计入则总数回到 。因此量 在摊平之后字面上不变——对平面图证明它就等于对多面体证明了它。
这正是“凸”这一假设真正被用到的时刻:凸性保证表面是球面、投影是真正没有棱交叉的嵌入。这里给出的是 Aigner–Ziegler《来自THE BOOK的证明》第13章中的那个证明。
- 平面图
- 可以画在平面上、且没有任何两条边相交的图(由若干顶点通过边相连而成)。
- 拓扑球面
- 可以不经过剪切或粘合、连续拉伸变形成普通圆球面的曲面;立方体的表面符合这个条件,而甜甜圈的表面则不符合。
常见错误. 这一铺平步骤需要多面体的表面在拓扑上是球面。对于中间有一个洞的多面体——拉卡托斯著名的'画框'反例——去掉一个面之后剩下的表面无法在不产生边交叉的情况下铺平,而且这种形状确实有 ,而不是 。