通俗地说
去掉一个面,把剩余表面看作拓扑圆盘。可以在保持顶点和边关联关系的同时,把它无交叉地重新画在平面上;这指的是平面嵌入,并不是说每个实体展开图都能无重叠地铺平。
任选凸多面体的一个面,去掉它,再把剩下的表面像展开的网一样铺平到平面上。之所以能这样做,是因为凸多面体的表面在拓扑上是一个球面,去掉一个面之后剩下的是一个圆盘,可以铺平而不产生任何边的交叉。得到的结果是一个连通的平面图,顶点 和边 与原多面体完全相同;剩下的 个面变成图中 个有界区域,被去掉的那个面变成唯一的无界外部区域,所以这个图的面总数仍然是 。
- 平面图
- 可以画在平面上、且没有任何两条边相交的图(由若干顶点通过边相连而成)。
- 拓扑球面
- 可以不经过剪切或粘合、连续拉伸变形成普通圆球面的曲面;立方体的表面符合这个条件,而甜甜圈的表面则不符合。
常见错误. 这一铺平步骤需要多面体的表面在拓扑上是球面。对于中间有一个洞的多面体——拉卡托斯著名的'画框'反例——去掉一个面之后剩下的表面无法在不产生边交叉的情况下铺平,而且这种形状确实有 ,而不是 。