素数是正因数只有 $1$ 和其自身 $p$ 的整数 $p > 1$;大于 $1$ 且不是素数的整数称为合数,因为它可以分解为 $a \cdot b$（其中 $1 < a, b < n$）。在《几何原本》（约公元前300年）第七卷定义11和定义13中,欧几里得用几何语言表述道:素数是“仅被单位量尽的数”,而合数是“被某个数量尽的数”。

我们的目标是证明欧几里得《几何原本》第九卷命题20:“素数比任何给定数量的素数都要多”——用现代记号来说,全体素数的集合 $\mathbb{P}$ 是无穷集（$|\mathbb{P}| = \infty$）。欧几里得并没有尝试写出一个按顺序生成所有素数的公式,而是展示了如何从任意给定的有限个素数出发,构造出至少一个不在该集合中的新素数。