将第4步与第5步结合起来:第5步给出了一个整除 $N$ 的素数 $q$（$q \mid N$）,而第4步已经证明列表 $L = \{p_1, p_2, \dots, p_n\}$ 中的任何素数 $p_i$ 都不整除 $N$（$p_i \nmid N$）。因此,对任何 $i \in \{1, \dots, n\}$,$q$ 都不可能等于 $p_i$,这意味着 $q \notin L$ 是列表之外的一个全新素数。

如果我们一开始假设 $L$ 是包含所有素数的完整列表,那么找到素数 $q \notin L$ 就直接与该假设产生矛盾。由于 $n$ 是任意有限整数,没有任何有限列表能够囊括全部素数。正如欧几里得在第九卷命题20末尾所总结的那样:“因此,素数比任何给定数量的素数都要多。”