帕塞瓦尔恒等式

命题陈述

设 $f \in L^2([-\pi, \pi])$ 是平方可积函数，其复傅里叶系数为 $c_n = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) e^{-inx}\,dx$（$n \in \mathbb{Z}$）。则其傅里叶系数模平方级数收敛，且等于 $f$ 的归一化 $L^2$ 范数平方：$\sum_{n=-\infty}^{\infty} |c_n|^2 = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} |f(x)|^2\,dx$。更一般地，对希尔伯特空间 $H$ 的任意标准正交基 $(e_n)_{n \in I}$ 及任意 $x \in H$，有 $\|x\|^2 = \sum_{n \in I} |\langle x, e_n \rangle|^2$。

为什么成立?

帕塞瓦尔恒等式就是无穷维空间中的勾股定理。正如 $\mathbb{R}^3$ 中向量的长度平方等于它在三条两两垂直坐标轴上投影的平方和，信号或波的总“能量” $\frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} |f(x)|^2\,dx$ 恰好等于每个纯频率成分 $e^{inx}$ 所含能量 $|c_n|^2$ 的总和。由于谐波 $e^{inx}$ 彼此正交，不同频率在总能量中互不干涉，因此将函数从时域变换到频域能够精确保持其 $L^2$ 几何结构。

用到此定理的主题

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分步证明

该定理暂无分步证明。