解法: 体の拡大によるヴァンツェルの代数的不可能性証明(1837年)

有理根定理により、整数係数の多項式の有理根 $p/q$(既約分数)は、$p$ が定数項を、$q$ が最高次係数を割り切らなければならない。$P(x)=x^3-3x-1$ では最高次係数が $1$、定数項が $-1$ であるから、$q=\pm1$、$p\in\{1,-1\}$ となり、候補は $x=1$ と $x=-1$ のみである。

両方を確かめると、$P(1)=1-3-1=-3\neq0$、$P(-1)=-1+3-1=1\neq0$ である。したがって $P$ は有理根を持たない。$P$ は次数 $3$ であるから、もし $\mathbb{Q}$ 上で自明でない因子に分解できたなら、一方の因子は一次でなければならず、一次因子 $qx-p$ は $p/q$ を根として要求する——それは今しがた除外された。ゆえに $P$ は $\mathbb{Q}$ 上既約である。

ある数 $\alpha$ が満たす次数 $3$ の既約多項式は(定数倍を除いて)$\alpha$ の最小多項式であるから、$[\mathbb{Q}(\alpha):\mathbb{Q}]$ はその次数に等しい。ここで $\alpha = 2\cos 20^\circ$ は $P$ の根であるから、$[\mathbb{Q}(2\cos 20^\circ):\mathbb{Q}] = 3$ となり、これが最終ステップに必要な最後の材料である。