解法: 体の拡大によるヴァンツェルの代数的不可能性証明(1837年)

与えられた2つの単位点から $F_0=\mathbb{Q}$ となる座標系を固定する。新しく作図可能な点は、それぞれ直線または円である2つの図形の交点であり、いずれも現在の体 $F_{i-1}$ 内の座標で定まっている。その連立方程式を解くと、一次方程式(二直線の場合)、または $F_{i-1}$ に係数を持つ二次方程式(直線と円、あるいは二円の方程式の $x^2+y^2$ の項を引き合って直線と円の連立に帰着させた場合)が得られる。したがって各新座標は $F_{i-1}$ 自身に属するか、ある $d_i\in F_{i-1}$ による二次拡大 $F_i=F_{i-1}(\sqrt{d_i})$ に属し、$[F_i:F_{i-1}]\in\{1,2\}$ となる(Wantzel 1837, §I)。

有限回の作図ステップの後、各ステップの次数が $1$ または $2$ である塔 $\mathbb{Q}=F_0\subset F_1\subset\cdots\subset F_k$ が得られる。これはあらゆる定規とコンパスによる作図の背後にある代数的骨格であり、ヴァンツェルが不可能性の理論全体を導き出す唯一の事実である。

次のステップでは、塔に沿って次数を掛け合わせることで、この塔を任意の単一の作図可能な数に対する数値的制約に変換する。