解法: 体の拡大によるヴァンツェルの代数的不可能性証明(1837年)

角 $\theta$ が作図可能であるのは、まさに長さ $\cos\theta$ が作図可能であるときである。角 $\theta$ にある単位円上の点から $x$ 軸に垂線を下ろすと線分 $\cos\theta$ が得られ、逆に $\cos\theta$ から垂線を立てれば $\theta$ が復元されるからである。$\theta = 20^\circ$ とおくと、$60^\circ$ の三等分が可能であるのは、まさに $20^\circ$、すなわち $\cos 20^\circ$ が作図可能であるときである。

三倍角の公式 $\cos 3\theta = 4\cos^3\theta - 3\cos\theta$ を $\theta=20^\circ$ に適用すると $4\cos^3(20^\circ) - 3\cos(20^\circ) = \cos(60^\circ) = \tfrac12$ となる。両辺に $2$ を掛け、$x = 2\cos(20^\circ)$(したがって $\cos 20^\circ = x/2$)と置換すると、これは $8(x/2)^3 - 6(x/2) = 1$、すなわち $x^3 - 3x - 1 = 0$ になる。零でない有理数 $2$ による乗除は作図可能性を変えないので、$\cos 20^\circ$ が作図可能であることと $x = 2\cos 20^\circ$ が作図可能であることは同値である。

こうして幾何学の問題全体が、整数係数の三次式 $P(x) = x^3 - 3x - 1$ に関する1つの代数的な問い——その根 $x = 2\cos 20^\circ$ は作図可能か——に帰着された。次のステップでは $P$ の $\mathbb{Q}$ 上の次数を計算してこれに答える。