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解法: 体の拡大によるヴァンツェルの代数的不可能性証明(1837年)

ステップ 6/7: 結論:33 は 22 の冪ではないから 60∘60^\circ は三等分できない
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ざっくり言うと

ここで2つの流れが出会う。ステップ3は、作図可能などんな数の次数もリスト 1,2,4,8,16,…1, 2, 4, 8, 16,\ldots の上になければならないと述べる。ステップ5は、実際に必要な数の次数が 33 であると述べる。しかし 33 はそのリストには単純に載っていない——どれだけ2倍を繰り返しても決してちょうど 33 にはならない。

この衝突こそが証明のすべてである:それは、60∘60^\circ を三等分するために必要な特定の点には、定規とコンパスでは決して到達できないことを意味する。それだけのことである。

[Q(2cos⁡20∘):Q]=3≠2m  ⟹  60∘ cannot be trisected[\mathbb{Q}(2\cos20^\circ):\mathbb{Q}]=3 \ne 2^m \implies 60^\circ \text{ cannot be trisected}
詳しい解説

ステップ3では、作図可能な実数はすべてある整数 m≥0m\ge0 に対して Q\mathbb{Q} 上で次数 2m2^m を持つこと、すなわちその次数は 1,2,4,8,16,…1, 2, 4, 8, 16,\ldots でなければならないことを証明した。ステップ5では [Q(2cos⁡20∘):Q]=3[\mathbb{Q}(2\cos20^\circ):\mathbb{Q}] = 3 であることを計算したが、33 はそのリストに決して現れない——それは 11 より大きい奇数であり、22 のどんな冪にも等しくなり得ない。

したがって 2cos⁡20∘2\cos 20^\circ は作図不可能であり、ゆえに cos⁡20∘\cos 20^\circ も作図不可能であり、ゆえに角 20∘20^\circ は 60∘60^\circ の角(と単位長)だけから定規とコンパスで作図することはできない。60∘60^\circ の三等分はちょうど 20∘20^\circ を生み出すはずであるから、定規とコンパスによる作図で 60∘60^\circ を三等分することはできない(Wantzel 1837, §II)。

このただ1つの反例が、角を三等分できると主張するあらゆる普遍的な方法を反証する:もしそのような方法が存在したなら、それを 60∘60^\circ に適用すれば今しがた証明したことと矛盾するはずである。古代から未解決だった古典的な三等分問題は、こうして決着した——巧妙な新しい作図法を見つけることによってではなく、そのような作図法が存在し得ないことを決定的に証明することによってである。