解法: 体の拡大によるヴァンツェルの代数的不可能性証明(1837年)

任意の角 $\theta$ を定規とコンパスで三等分するとは、この2つの古典的な道具だけを用いて $\theta$ から角 $\theta/3$ を作図することを意味する。リウヴィルの『純粋・応用数学誌』に発表されたヴァンツェルの1837年の論文は、両方の問いを代数に帰着させることで、立方体倍積問題と合わせてこれを解決した:実数が作図可能であるのは、まさにそれが $\mathbb{Q}$ から有限個の平方根の抽出の連鎖によって到達できるときである(Wantzel 1837, §I)。

残りのステップで実行される計画は次の通りである:(1) 作図可能な長さはすべて $\mathbb{Q}$ 上で次数が $2$ の冪であることを示す;(2) $60^\circ$ の三等分を、$x=2\cos 20^\circ$ に対する三次方程式を解く問題に帰着させる;(3) その三次方程式が $\mathbb{Q}$ 上既約であることを示し、その根の次数が $3$ であることを導く;(4) $3$ は $2$ の冪ではないから $\cos 20^\circ$ は作図不可能であり、したがって $60^\circ$ は三等分できない。

一般的な方法を否定するには1つの反例で十分だから、この1つの角だけで、$90^\circ$ のような特別な角は三等分できるにもかかわらず、すべての角に対して機能する定規とコンパスの手順は存在しないことが証明される。