解法: 体の拡大によるヴァンツェルの代数的不可能性証明(1837年)

ヴァンツェルの判定条件は、厳密には古典的なユークリッド的意味での定規とコンパスによる作図にのみ関するものである:目盛りのない定規は既に作図された2点を通る直線を引くためだけに使い、コンパスは既に作図された1点を中心として別の作図された点を通る円を描くためだけに使う。どちらの道具を緩めても答えは変わる。アルキメデス(紀元前3世紀)はすでに、ネウシス——目盛り付きの定規を、与えられた2つの長さが2つの与えられた曲線に同時に一致するまで滑らせる方法——を用いた三等分法を示していた。これは事実上三次方程式を直接解くことを可能にし、次数 $2^m$ の制約を完全に回避する。

同じ1837年の論文の中でヴァンツェルは、まったく同じ戦略(三次方程式に帰着させ、それが既約であることを示し、$3\neq2^m$ に注意する)を用いて、立方体倍積——$\sqrt[3]{2}$ の作図——もまた不可能であることを証明し、さらにどの正多角形が作図可能かというガウスの定理を完成させた。シャルル・スチュルムはその直後に改良された証明を見つけたようだが、発表することはなかった(Maths History、ヴァンツェルの伝記)。

歴史的に見て、この1837年の結果は、体の次数に基づく議論を用いて幾何学的不可能性を証明した最も早い例の一つであり、数年前にエヴァリスト・ガロアが発展させつつあった着想を先取りし、やがてガロア理論として結晶化することになる。これにより、古代最も有名な未解決問題のうち3つが決着した証明済みの事実に変わったが——円積問題はなお、45年後の1882年にリンデマンが発表した $\pi$ の超越性の証明を必要とした。