解法: Beukers–Calabi–Kolk による二重積分を用いた証明(1993年)

$\zeta(2)=\sum_{n\ \mathrm{odd}}\frac{1}{n^2}+\sum_{n\ \mathrm{even}}\frac{1}{n^2}$ と書く。偶数部分で $n=2m$ とおくと $\sum_{m=1}^{\infty}\frac{1}{(2m)^2}=\frac{1}{4}\sum_{m=1}^{\infty}\frac{1}{m^2}=\frac{1}{4}\zeta(2)$、つまり偶数添字の部分は評価したい級数そのものをスケールしたものである。移項して $\zeta(2)-\frac{1}{4}\zeta(2)=\frac{3}{4}\zeta(2)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{(2k+1)^2}$、したがって $\zeta(2)=\frac{4}{3}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{(2k+1)^2}$ を得る。

この偶奇の分割は、Beukers–Calabi–Kolk の論文とその先行研究で用いられているもので、証明の残りを可能にする仕掛けである。手順2に現れる分母 $1-x^2y^2$ は $(xy)^2$ の等比級数に展開され、そのべきはちょうど偶数単項式 $x^{2k}y^{2k}$ であり、積分後に奇数の分母 $(2k+1)^2$ を生み出す。すべての平方をそのまま扱うなら分母は $1-xy$ となり、はるかに扱いにくい特異積分に行き当たる。

この分割は近似ではなく代数的な恒等式で、しかも可逆である——奇数平方和を知ることは $\zeta(2)$ を知ることと同値である。