MathLabs

解法: Beukers–Calabi–Kolk による二重積分を用いた証明(1993年)

ステップ 1/6: 奇数と偶数の平方に分ける
前のステップ次のステップ
ざっくり言うと

ζ(2)\zeta(2) の各項を、添字が奇数か偶数かで二つの山に分けてみよう。靴下を色で仕分けるようなものである。偶数の山は全体の和のちょうど四分の一のコピーになることがわかるので、それを引いて ζ(2)\zeta(2) について解けば、残るのは調べるべき奇数の山——1,3,5,…1,3,5,\dots にわたる和——だけになる。

ζ(2)=∑n=1∞1n2=∑k=0∞1(2k+1)2+14∑m=1∞1m2 ⟹ ζ(2)=43∑k=0∞1(2k+1)2\zeta(2)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{(2k+1)^2}+\frac14\sum_{m=1}^{\infty}\frac{1}{m^2}\ \Longrightarrow\ \zeta(2)=\frac43\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{(2k+1)^2}
詳しい解説

偶数の添字 n=2mn=2m と奇数の添字 n=2k+1n=2k+1 を分けると、偶数部分はちょうど 14ζ(2)\tfrac14\zeta(2) になる。ζ(2)\zeta(2) について解くと、問題全体が奇数の平方だけにわたる和に帰着し、これは次の手順で自然な二重積分と一致する。

このステップの用語
ζ(2)\zeta(2)
リーマンのゼータ関数 ζ(s)=∑n=1∞1/ns\zeta(s)=\sum_{n=1}^\infty 1/n^s の 22 における値を表す標準的な略記であり、ここではバーゼル問題の無限和 ∑1/n2\sum 1/n^2 のことである。
このステップで使う知識
数列の級数と収束判定法