解法: Beukers–Calabi–Kolk による二重積分を用いた証明(1993年)

ステップ 4/6: ヤコビアンが分母を打ち消す

ざっくり言うと

変数変換は常に、ヤコビアンと呼ばれる局所的な拡大縮小率で面積を伸縮させる。ここでは短い三角関数の計算の後、その率がちょうど、そもそもの問題の発端であった厄介な分母 $1-x^2y^2$ に等しくなることがわかり、それを完全に打ち消して何も残さない。

\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}=1-\frac{\sin^2u\sin^2v}{\cos^2u\cos^2v}=1-x^2y^2

詳しい解説

四つの偏導関数と 2×2 の行列式を直接計算すると、ちょうど $1-x^2y^2$ が得られる——これは積分の分母にある式そのものである。したがって $dx\,dy/(1-x^2y^2)=du\,dv$ となり、余分な因子は一切残らない。

このステップの用語

ヤコビ行列式: 変数変換の偏導関数からなる行列の行列式 $\partial(x,y)/\partial(u,v)$ のことで、その置換によって小さな面積片がどれだけ伸縮するかを測る。

このステップで使う知識

よくある間違い. 「ヤコビアンが 0 でない」ところで満足して先に進みたくなるが、正しい変数変換にはこの写像が開正方形上で一対一であることも必要であり、これは(ここでは成り立つが)この計算だけでは示せない別の事実である。