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解法: Beukers–Calabi–Kolk による二重積分を用いた証明(1993年)

ステップ 2/6: 奇数の平方を二重積分として表す
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ざっくり言うと

式 11−t\frac{1}{1-t} は、際限なく続く幾何級数 1+t+t2+⋯1+t+t^2+\cdots の和である。t=x2y2t=x^2y^2 とおいて単位正方形上で各べきを別々に積分すると、代数的な和が、項ごとに一つずつの普通の微積分の積分の積み重ねに変わり、それらを組み立て直すとちょうど手順1の奇数の平方和になる。

∫01 ⁣ ⁣∫01dx dy1−x2y2=∑k=0∞(∫01x2kdx)(∫01y2kdy)=∑k=0∞1(2k+1)2\int_0^1\!\!\int_0^1 \frac{dx\,dy}{1-x^2y^2}=\sum_{k=0}^{\infty}\left(\int_0^1 x^{2k}dx\right)\left(\int_0^1 y^{2k}dy\right)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{(2k+1)^2}
単位正方形上の放物面。二重積分を曲面の下の体積として示す(実際の被積分関数 1/(1−x2y2)1/(1-x^2y^2) は角 (1,1)(1,1) でのみ発散する)
単位正方形 [0,1]×[0,1] 上の一般的な放物面 z = x² + y² の3Dプロット。ここでは、二重積分が曲面の下の体積を計算するという一般的な考え方を示すためだけに用いている。この証明での実際の被積分関数 1/(1−x²y²) は、正方形内では角 (1,1) の一点を除いてどこでも有限であり、その一点でのみ緩やかに発散する。
詳しい解説

1/(1−x2y2)1/(1-x^2y^2) を (xy)2(xy)^2 に関する幾何級数として展開し、単位正方形上で項ごとに積分する。すべての項が正であるため、無限和と積分の順序を入れ替えることは正当である。結果は手順1で得た奇数の平方和にちょうど一致する。

このステップの用語
幾何級数
1+t+t2+t3+⋯1+t+t^2+t^3+\cdots の形の級数のことで、∣t∣<1|t|<1 のとき 11−t\frac{1}{1-t} に収束する。
広義積分
積分領域のどこか(ここでは角 (1,1)(1,1) の近く)で被積分関数が非有界になる積分のことで、通常のリーマン和ではなく極限として定義される。
このステップで使う知識
重積分べき級数とテイラー級数
よくある間違い. 被積分関数は角 (1,1)(1,1) の近くで非有界であり、この積分は広義積分として理解する必要がある。収束は仮定するのではなく確認すべきである(各項 ∫01x2kdx∫01y2kdy=1/(2k+1)2\int_0^1x^{2k}dx\int_0^1y^{2k}dy=1/(2k+1)^2 は有限であり、得られる級数は収束する)。