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解法: サイン関数の無限乗積公式によるオイラーの証明(1734–1735)

ステップ 1/6: 求める級数の和とオイラーの着想
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ざっくり言うと

11 に 14\frac{1}{4}、19\frac{1}{9}、116\frac{1}{16} …と永遠に足し続けるところを想像してほしい。項はどんどん小さくなるので合計はある一つの数に落ち着くが、その数が何であるかは百年近く誰にも言い当てられなかった。オイラーの工夫は、sin⁡x\sin x という三角関数を通じてまったく別の方向からその同じ数にこっそり近づき、同じ対象についての二通りの記述を見比べてその値を読み取ることだった。

ζ(2)=∑n=1∞1n2=1+14+19+116+⋯\zeta(2)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}=1+\frac{1}{4}+\frac{1}{9}+\frac{1}{16}+\cdots
詳しい解説

バーゼル問題は、17世紀から数値的には知られていたもののそれまで閉じた形が見つかっていなかった、この級数の和の正確な値を問う。オイラーの着想は、sin⁡x\sin x のマクローリン級数から同じ数を表す別の式を導き、それを sin⁡x\sin x の零点から作られる、見た目のまったく異なる無限乗積と比較することだった。

このステップの用語
ζ(2)\zeta(2)
この特定の無限級数を表す標準的な略記であり、リーマンのゼータ関数 ζ(s)=∑n=1∞1/ns\zeta(s)=\sum_{n=1}^\infty 1/n^s の 22 における値である。
閉じた形
π2/6\pi^2/6 のように、有限個のよく知られた定数と演算だけから作られる式のことで、評価されていない無限の過程とは対照的なものである。
このステップで使う知識
数列の級数と収束判定法