解法: Beukers–Calabi–Kolk による二重積分を用いた証明(1993年)

ステップ 5/6: 積分は三角形の面積である

ざっくり言うと

厄介な分母が打ち消された後、積分すべきものは単に定数関数 $1$ だけになる——そして $1$ をある領域上で積分することは、その領域の面積を尋ねる回りくどい言い方にすぎず、直角三角形ならそれは二つの直角辺の積の半分である。

\int_0^1\!\!\int_0^1 \frac{dx\,dy}{1-x^2y^2}=\iint_{\Delta} du\,dv=\operatorname{Area}(\Delta)=\frac12\left(\frac{\pi}{2}\right)^2=\frac{\pi^2}{8}

詳しい解説

変数変換の後、被積分関数は恒等的に $1$ となるので、二重積分は単に、両方の直角辺が $\pi/2$ に等しい直角三角形 $\Delta$ の面積である。

このステップで使う知識