解法: Beukers–Calabi–Kolk による二重積分を用いた証明(1993年)

ステップ 3/6: Beukers–Calabi–Kolk による変数変換

ざっくり言うと

二つの補助角 $u$ と $v$ は、古いラジオのつまみのように働く。それらを回すことで三角形の領域 $\Delta$ のすべての点をちょうど一回ずつ掃くことになり、サインとコサインの組み合わせは、単位正方形の角——被積分関数が発散する厄介な角も含めて——がちょうどその三角形の頂点に落ち着くように仕組まれている。

x=\frac{\sin u}{\cos v},\quad y=\frac{\sin v}{\cos u},\qquad (u,v)\in\Delta=\Big\{u,v>0,\ u+v<\frac{\pi}{2}\Big\}

単位円上のある角のサインとコサイン——この変換を構成する二つの基本要素

詳しい解説

この変換は $u=0$ を $x=0$ に、 $v=0$ を $y=0$ に送り、遠い辺 $u+v=\pi/2$ は $x=1$ または $y=1$ に対応する——したがって、開いた単位正方形を、長さ $\pi/2$ の二辺を持つ開三角形 $\Delta$ にちょうど写す。

このステップの用語

変数変換: 積分変数 $x,y$ を、ある式で関係づけられた新しい変数 $u,v$ に置き換えることで、難しい積分を別の領域上のより易しい積分に変えることである。

このステップで使う知識

三角法