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解法: サイン関数の無限乗積公式によるオイラーの証明(1734–1735)

ステップ 5/6: x² の係数を比較する
前のステップ次のステップ
ざっくり言うと

同じケーキを焼くための二つの異なるレシピは、どの材料についても同じ分量を記載していなければならない。ここでの「ケーキ」は関数 sin⁡x/x\sin x/x であり、二つの「レシピ」とは手順2のマクローリン級数と手順4で展開した積のことである。そして材料 x2x^2 を突き合わせることこそ、オイラーが追い求めていた数値的な等式そのものである。

−13!=−1π2∑n=1∞1n2 ⟹ ∑n=1∞1n2=π26-\frac{1}{3!}=-\frac{1}{\pi^2}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}\ \Longrightarrow\ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6}
詳しい解説

手順2と手順4は同じ関数 sin⁡x/x\sin x/x に対する二つのべき級数を与えるので、それらの係数は各次数で一致しなければならない。x2x^2 の係数を比較することで、sin⁡x\sin x の零点に関する幾何的な主張が、オイラーが求めていた数値的な等式へと直接変換される。