解法: サイン関数の無限乗積公式によるオイラーの証明(1734–1735)

ステップ 4/6: 積を x² の位数まで展開する

ざっくり言うと

普通の有限多項式には近道(ヴィエトの公式)があり、根を一つ一つ知らなくても $x$ の係数から根の逆数の和を直接読み取れる。オイラーはまさにその近道を自分の無限乗積にも当てはめ、形式的に展開して $x^2$ の係数を読み取った。

\prod_{n=1}^{\infty}\left(1-\frac{x^2}{n^2\pi^2}\right)=1-x^2\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2\pi^2}+O(x^4)

詳しい解説

無限個の因子を形式的に展開すると、 $x^2$ の係数は「根の平方」の逆数の和にマイナスをつけたものになる——これはまさに、有限多項式の係数から根の逆数の和を求めるヴィエトの公式と同じ規則である。

このステップの用語

ヴィエトの公式: 多項式の係数を、その根の和や積として表す公式のこと。特に、最高次係数が $1$ で定数項が $1$ であるような多項式では、 $x$ の係数は根の逆数の和にマイナスをつけたものに等しい。

このステップで使う知識