解法: サイン関数の無限乗積公式によるオイラーの証明(1734–1735)

ステップ 3/6: 多項式との大胆な類推

ざっくり言うと

有限の多項式は、そのすべての根がわかれば完全に復元できる。たとえば根が $2$ と $3$ で $x=0$ で $6$ になる二次式は必ず $6(1-x/2)(1-x/3)$ になる。オイラーは、根が無限個並んだ場合だけ話が違ってくるはずがないと単純に信じ、 $\sin x/x$ を根の対 $\pm n\pi$ ごとに一つの因子を持つ無限乗積として書き下した。

\frac{\sin x}{x}\;\overset{?}{=}\;\prod_{n=1}^{\infty}\left(1-\frac{x}{n\pi}\right)\left(1+\frac{x}{n\pi}\right)=\prod_{n=1}^{\infty}\left(1-\frac{x^2}{n^2\pi^2}\right)

\sin z

のドメインカラーリング図: カラーホイールのすべての色相が一点に集まる場所が、まさに零点

0,\pm\pi,\pm2\pi,\dots

である。

詳しい解説

根 $r_1,\dots,r_k$ を持ち $0$ で値 $1$ をとる多項式は $\prod(1-x/r_i)$ の形に因数分解される。オイラーは $\sin x/x$ を根 $\pm\pi,\pm2\pi,\dots$ を持ち $0$ で値 $1$ をとる「無限次多項式」とみなし、同じ形の因数分解を——各 $+n\pi$ と $-n\pi$ を組にして一つの実二次因子にまとめて——書き下した。

このステップの用語

無限乗積: 無限個の因子の部分積 $\prod_{n=1}^{N}(\cdots)$ の $N\to\infty$ における極限として定義される値のことである。

このステップで使う知識

複素関数論

よくある間違い. この段階が議論全体の核心であり、1735年当時はまだ正当化されていなかった。「無限次多項式」が有限多項式と同じように零点だけで定まる保証も、積の前に余分な因子(たとえば

e^{cx}

)が隠れていないという保証もまだなかったからである。