解法: サイン関数の無限乗積公式によるオイラーの証明(1734–1735)

ステップ 2/6: sin x / x のマクローリン級数

ざっくり言うと

$x$ で割ることは、関数の唯一の明白な零点の層を剥がして、残った部分を他の零点から作られる積と正直に比較できるようにするようなものである。この新しい関数は $x=0$ で $1$ に等しく、そのべき級数はサインの級数の各項の $x$ の指数を一つ下げただけのものである。

\frac{\sin x}{x}=1-\frac{x^2}{3!}+\frac{x^4}{5!}-\frac{x^6}{7!}+\cdots

詳しい解説

$\sin x$ の既知のべき級数を $x$ で割ると、 $x=0$ にある自明な零点が消え、その点で値 $1$ をとる関数が得られる。残る零点はちょうど $x=\pm\pi,\pm2\pi,\pm3\pi,\dots$ 、すなわち $\sin x=0$ の 0 でない解である。

このステップの用語

マクローリン級数: ある関数の $x=0$ の周りでのべき級数展開で、その点における導関数から得られる。これにより関数を $x$ に関する「無限次多項式」として扱えるようになる。
関数の零点: 関数の値がちょうど $0$ になる点のことで、 $\sin x$ の場合は $0,\pm\pi,\pm2\pi,\dots$ である。

このステップで使う知識