解法: サイン関数の無限乗積公式によるオイラーの証明(1734–1735)

よくある質問

オイラーは、十分に正当化される前にこの結果を発表したのは誤りだったのか。

いいえ——彼は数値 $\pi^2/6$ を検証し、後に同じ積に対する別の導出も与えている。数学界は、この結果が完全に厳密化されるずっと前からそれを受け入れていた。

ワイエルシュトラスの定理は正確には何を付け加えるのか。

どの整関数が、零点にわたる収束積に、ある整関数 $g$ による $e^{g(x)}$ を掛けたものに等しくなるかを正確に示し、 $g$ が定数でなければならないための増大条件(有限種数)を与える——これは $\sin x$ について成り立つ。

今日、オイラーの元の手法に沿った完全に厳密な証明はあるのか。

ある。サイン積の対数微分はコタンジェントの部分分数展開と一致し、これは複素解析によって厳密に証明できる。また、Beukers、Calabi、Kolk による二重積分を用いた証明は、無限乗積を一切使わずに同じ等式に到達する。

出典

Leonhard Euler, 1735

Euler: The Master of Us All

ステップ 6/6: 140年後に埋められた、正直に認めるべき欠落

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ざっくり言うと

オイラーは、実質的には口座の存在を確かめずに小切手を換金したようなものだった。「無限次多項式」が有限多項式と同じように振る舞うと仮定しながら、それが正当だという証明は一切なかったからである。その小切手は結局は決済された——しかしそれは140年後、カール・ワイエルシュトラスがまさにどの関数がこの方法で零点から復元できるかを正確に示し、欠けていた銀行を築いてくれたからにほかならない。

\sin x = x\prod_{n=1}^{\infty}\left(1-\frac{x^2}{n^2\pi^2}\right)

詳しい解説

$\sin x$ に対するオイラーの積は正しく、彼自身も後に他の独立した方法でそれを確かめている。しかし手順3で行った飛躍——関数が多項式と同様に本質的にその零点だけで定まるという主張——が本当の定理となったのは、整関数に対するワイエルシュトラスの因数分解定理(1876年)が示され、余分な指数因子が不要となる明確な条件が与えられてからである。この証明は、欠落も含めておおむねオイラー自身の与えた形で示している。それが実際にこの等式が発見された経緯だからである。

このステップの用語

ワイエルシュトラスの因数分解定理: 1876年のカール・ワイエルシュトラスの定理で、どの整関数がある整関数 $g$ による $e^{g(x)}$ を掛けた、零点にわたる収束積に等しくなるか、また $g$ が定数でなければならないのはいつかを正確に示す。
整関数: 複素平面上のすべての点で微分可能な複素変数の関数のことで、たとえば $\sin z$ や $e^z$ がこれにあたる。

このステップで使う知識

複素関数論