解法: フランクル–ウィルソンの定理によるカーン=カライのボルスク予想の反証

$(0,1)$ ベクトル $x \in \{0,1\}^n$ を、$x$ が $1$ である座標の集合 $A \subset \{1,\ldots,n\}$ と同一視する。そのような二つのベクトル $x, y$ がどちらもちょうど $k$ 個の1を持つ(サイズ $k$ の集合 $A, B$ に対応する)場合、$\|x-y\|_2^2 = 2(k - |A\cap B|)$ である:距離の二乗は重なり $|A \cap B|$ が大きくなるにつれてちょうど縮小し、$|A \cap B|$ ができるだけ小さいときにちょうど最大となる。したがって $\{1,\ldots,n\}$ の $k$-部分集合のうち、最大(直径を実現する)距離にあるペアとは、まさに交わりが最小のペアである。

ラーマンは、定数重みの $(0,1)$ ベクトルの有限集合に制限したボルスクの予想が、明快な組合せ論的主張に帰着することに気づいた:$\mathcal{K}$ を $\{1,\ldots,n\}$ の $k$-部分集合の族で、任意の二つのメンバーがちょうど $t$ 個の要素を共有する(したがって $\mathcal K$ は非自明なペア距離を一つしか持たず、それが直径を実現する)ものとするとき、各部分内では任意の二つのメンバーが少なくとも $t+1$ 個の要素を共有する(すなわち真に小さい距離にある)ように、$\mathcal K$ を常に $n$ 個の部分に分割できるか?この純粋に有限な問いに対する反例——$n$ 個をはるかに超える部分を証明可能に必要とする族 $\mathcal K$——こそが、カーンとカライがこの後構成するものであり、しかも一定交わりという最も明快な形の仮定すら必要としない。