解法: フランクル–ウィルソンの定理によるカーン=カライのボルスク予想の反証

$V = \{1, \ldots, m\}$($m = 4k$、$k$ は素数冪)とし、$W$ を $V$ の要素の順序なしペア全体($\binom{m}{2}$ 個)、すなわち $V$ 上の完全グラフの辺の集合とする。したがって $d := |W| = \binom{m}{2}$ が周囲空間の次元である。$V$ をそれぞれサイズ $2k$ の二つの半分に分ける各分割 $\{A,B\}$ に対して、$S(A,B) \subset W$ を、一方の要素が $A$ に、もう一方が $B$ にあるペアの集合($A$ と $B$ の間の「カット」)とする。このような分割のどれについても $|S(A,B)| = (2k)^2 = m^2/4$ であることに注意する。$\mathcal K = \{S(A,B) : \{A,B\}$ は $V\}$ のバランスの取れた分割とすると、これは $W$ の部分集合からなる $\binom{m}{2k}/2$ 個の族であり、各元は $\mathbb{R}^d$ 内の $(0,1)$ ベクトルと同一視される。

$\mathcal K$ のすべての集合がちょうど同じ大きさ $m^2/4$ を持つため、$\mathcal K$ のすべての点は、全座標が $\tfrac12$ である点を中心とする $\mathbb{R}^d$ 内の共通の球面上にあり、ステップ2の距離公式により、それらの対ごとの距離は完全に $|S(A,B) \cap S(C,D)|$ によって支配される:二つのカットが近いのは、それらの横断辺集合が大きく重なっているときにちょうど一致する。最小の重なり——したがって $\mathcal K$ の直径を実現する最大距離——は($A, B, C, D$ の包除原理による直接計算により)ちょうど $|A \cap C| = k$ のときに起こることが分かり、ステップ3の定理が制御するために構成された交わりの条件が設定される。