解法: フランクル–ウィルソンの定理によるカーン=カライのボルスク予想の反証

定理(フランクル–ウィルソン、1981年)。$k$ を素数冪、$n = 4k$ とする。$\mathcal{K}$ を $\{1, \ldots, n\}$ の $n/2$-部分集合の族で、$\mathcal{K}$ 内のどの二つの集合もちょうど $n/4$ 個の要素で交わらないものとする。このとき $|\mathcal K| \le 2\binom{n-1}{n/4-1}$ である。

この限界の際立った特徴はその形にある:$n$ 元集合の $n/2$-部分集合の総数は $\binom{n}{n/2}$ であり、これは(次元に対して)限界 $2\binom{n-1}{n/4-1}$ よりも指数的に大きい。この限界は、わずかに小さい台集合からのサイズおよそ $n/4$ の部分集合しか数えていない。したがって、たった一つの交わりの大きさを禁止するという、極めて緩い制約に聞こえるものが、族をあらゆる可能な集合のうちの消えていく割合へと押し込め、その差は $n \to \infty$ とともに際限なく広がる。フランクルとヴォイチェフ・レードルによる密接に関連した結果は、エルデシュの問いに答えるもので、$k=n/4$ が素数冪であることを要求せずに、四で割り切れる任意の $n$ に対して同じ仮定の下で、より弱いが類似した限界 $|\mathcal K| \le (1.99)^n$ を与える。