解法: フランクル–ウィルソンの定理によるカーン=カライのボルスク予想の反証

$\mathcal K$ の部分が真に小さい直径を持つのは、それが $|A \cap C| = k$(ステップ4の最小交わり・最大距離のペア)であるような二つのカット $S(A,B), S(C,D)$ を含まないとき、かつそのときに限る。ステップ3のフランクル–ウィルソンの定理を、サイズ $n := m$ の台集合 $V$ と禁止された交わりの大きさ $n/4 = k$ に対して適用すると、そのような $\mathcal K$ の「安全な」部分族はどれも大きさが高々 $2\binom{m-1}{k-1}$ である。$\mathcal K$ 自身は $\tfrac12\binom{m}{2k}$ 個の要素を持つため、$\mathcal K$ をより小さい直径の部分に分割するには少なくとも $\tfrac12\binom{m}{2k} \big/ 2\binom{m-1}{k-1}$ 個の部分が必要である。

スターリング近似による計算($k$ が素数冪を渡るように $m=4k$ に対して行われ、素数冪があまり疎でないことを保証するために素数定理を用いる)は、$d = \binom{m}{2}-1$ が十分大きくなると、この比が $(1.203)^{\sqrt d}$ を超えることを示し、これは予想されていた $d+1$ よりも指数的に大きい。$\mathcal K \subset \{0,1\}^d$ は、ステップ4で計算された最大距離に等しい直径を持つ $\mathbb{R}^d$ の正真正銘の有界部分集合であるため、これは十分大きいすべての $d$ に対してボルスクの予想を直接反証する。