解法: 円分体を用いたミハイレスクによるカタラン予想の証明(2002年)

カタランの予想は、1844年にクレレの雑誌に載った彼の手紙に述べられている通り、方程式 $x^u-y^v=1$ が整数 $x,y>0$、$u,v>1$ の範囲でただ一つの解 $3^2-2^3=1$ しか持たないと主張する(Bilu 2004年、第1節、Catalan 1844年からの引用)。158年間これは未解決のままであったが、部分的な結果はあった(Lebesgue、1850年、$v=2$ の場合;Ko Chao、1965年、$u=2$ の場合)。

Lebesgue と Ko Chao の定理を組み合わせると、予想全体は次に帰着する:$p,q$ が奇素数であるとき、方程式 $x^p-y^q=1$ は非零整数 $x,y$ の解を持たない(Bilu 2004年、第1節、予想1.2)。この方程式は有用な意味で対称的になっている——$(x,y,p,q)$ が解ならば $(-y,-x,q,p)$ も解である——ため、この帰着された主張こそがミハイレスクの証明の実際の対象であり、今日ではカタランの方程式と呼ばれている。

残りのステップは、ミハイレスクによる2002/2004年の議論(クレレの雑誌に掲載され、Yuri Bilu によりセミネール・ブルバキ、Astérisque 294、2004年で概説された)をたどり、奇素数 $p,q$ に対して $x^p-y^q=1$ がなぜ不可能であるかを示す。