解法: ゲーデルとコーエン:連続体仮説はZFCから独立である(1963年)

コーエンの強制半順序集合 $\mathbb{P} = \mathrm{Fn}(\aleph_2 \times \omega, 2)$ は、$\aleph_2 \times \omega$ から $\{0,1\}$ への有限部分関数 $p$ すべてからなる(「条件」は $\aleph_2$ 個ある列のどれの、どの位置の、有限個のビットを固定する)。順序は逆包含関係で定める:$q \le p$(「$q$ の方が強い」)とは、ちょうど $q \supseteq p$ となる、すなわち $q$ が $p$ の定義域上で $p$ と一致し、それより厳密に多く決定していることをいう。

フィルター $G \subseteq \mathbb{P}$ が(基礎モデル $V$ に対して)ジェネリックであるとは、$V$ に属する $\mathbb{P}$ のすべての稠密部分集合と交わることをいう——非形式的には、$G$ は最終的に、$V$ にすでにある情報だけを使って問える列に関するあらゆる問いに答えることになる。コーエン(1963年、1964年)は、そのようなジェネリックフィルターが存在すること(Rasiowa–Sikorski流の議論による。一度に一つの実数を扱う場合、$V$ が $\mathbb{P}$ に関して気にすべき稠密集合は可算個しかないため)、そして $f_G = \bigcup_{p \in G} p$ が $\aleph_2$ 個の真に新しい全域二進列、すなわち新しい実数として組み上がり、ジェネリック拡大 $V[G]$ を形成することを示した。

$G$ 自体が意図的に $V$ の外部から選ばれているため、$V[G]$ は $V$ の古い集合をすべてそのまま保ちながら、新しい集合によって $V$ を厳密に拡大する。次のステップでは、$V[G]$ が依然として $\mathrm{ZFC}$ のすべてを満たすこと、そしてこれら $\aleph_2$ 個の新しい実数が互いに真に異なることを強制されることを示す。